１０の□乗（じょう）

一

　　十

　　百

　　千

万

　　十

　　百

　　千

億

　　十

　　百

　　千

兆

　　十

　　百

　　千

京　　

　　十

　　百

　　千

垓

　　十

　　百

　　千

抒

　　十

　　百

　　千

穰

　　十

　　百

　　千

溝

澗

正

載

極

恒河沙

阿僧祇

那由他

不可思議

無量大数

ＷＥＢ科学絵本

はじめに

　このサイトは、子供たちのために作りました。
　チャールズ＆レイ・イームズ著『ＰＯＷＥＲ　ＯＦ　ＴＥＮ』とその映像・
かこさとし著『おおきなおおきなせかい』
『ちいさなちいさなせかい』を参考にしています。
１ｍの世界から１０倍ずつ拡大して宇宙のはてまでトリップします。
絵や写真の大きさはできる限り忠実に表現しました。

　すでに天下を自分の物にした豊臣秀吉は、商人で家来の曽呂利新佐衛門と将棋をしていた。功績に報い秀吉は新佐衛門にほうびを取らせる事にし、何がほしいかを尋ねた。
　新佐衛門は「米粒をいただきたい。今日はひと粒、あすはふた粒、明後日は四粒と、ちょうどこの将棋の盤のマス目分の８１日間だけいただければ幸いです。」
秀吉は、大笑いをして新佐衛門の欲の無さを喜んで、ごきげんで承諾した。
ところがあとから秀吉は家来に計算させて驚いた。
１＋２＋２^２＋２^３＋・・・・・・＋２^８０＝
２４１７８５１４３９２２９２５８３４９４１２３５１粒ほしいというのだ。
これは、お茶碗１杯３０００粒あるとして、日本国民全員が１億年はたべることができるお米の量であった。こうした数遊び・数にまつわる話は、日本では古くからあり、民衆の間で楽しまれていたようだ。ところで新佐衛門の米粒の数は、どのようによめばいいのだろう。

大きな数・小さな数
漢数字（漢字の数字）と数詞（数字の呼び方）
日本の数詞アニメーション
算用数字
現在，私たちが使っている数字は算用数字といわれます．つまり，計算用の数字という意味です．私たちはもう一つの数字の漢数字をもっていますが，これは計算に使う数字ではなくて記録用の数字なのです．明治以前には計算はソロバンや算木といわれる計算器具で行なわれ，その結果が漢数字で記録されていました．（ヨーロッパでもアバクスで計算され，結果がロ－マ数字で記録される時代がありました．）明治以降に筆算が普及し，現在の数字が用いられるようになったとき，従来の記録用の漢数字に対して，算用数字という呼び名がつくられたのです．ところで，この算用数字はアラビア数字ともいわれます．私たちが今使っている数字はインドに始まり，アラビアの商人の手をへてヨーロッパヘ伝えられたものなのです．
ローマ数字とローマのソロバン
ローマ数字はⅠが１､Ⅴが５､Ⅹが10、Ｌが50、Ｃが100、Ｄが500、Ｍが1000を表す。また例えば４はⅣ、６はⅥのようにⅤ（５）の前後にⅠ（１）を配することで５－１=４、５＋１=６を与えるように決まっている。
アバクス
7世紀から8世紀にかけてイスラム帝国をつくりあげたアラビア人は，東西文化の交流に大きな役割を果たしてきました．『アラビアンナイト』で有名なバクダードではギリシア数学の古典ユークリッドの『原論』などがアラビア語にほん訳されました．現在私たちが知っているユークリッドの『原論』はこのアラビア語訳なのです．バグダードにはまた，東方インドの文化が伝えられました．8世紀の終り頃，宮廷を訪れたインド人の使者が，インドで作製された天文表や多くの数学書をカリフに献上したと伝えられています．多分この時にインドの数字がアラビアに伝えられたのでしょう．
原論
インドでのゼロの発見と伝播
インドの使者は唐の都も訪れたようです．恐らく仏教を通して中国とインドは古くから交渉がありましたから，アラビアよりも早くインドの数字は中国へ伝えられていたと思われます．唐の開元年間（710～740）につくられた『開元占経』という本の中にインドの数字とともに次のような説明がかかれています．　「インドでは一から九までの数字ですべての数を表わし，その数字は皆　一筆書きができる．九が十になると位を前に進め，空位ができると点を打って表わす」最初のころのインド数字のゼロは「・」あったようです．このインド数字・１０進記数法は１，２，３・・の９文字の他に０を用いているのがみそで、０があるために計算が容易になるのです。例えば、アラビア数字の5887はローマ数字で表すとMMMMMDCCCLⅩⅩⅩⅦとなります。これに13を足すとアラビア数字なら１及び10の位が０になり100の位の数値が８から９に変わって5900となりますが、ローマ数字で表すと MMMMMCMとなり、文字数が大幅に減ったりして大小の区別すらよくわからなくなってしまいます。こうなるとローマ数字は記号としか見えません。　さて，インドから伝えられた数字は書体がいろいろあったようです．印刷術が発明されたのが1445年のことですから，それ以前は書く人のくせも手伝って，いろいろな変体がありました．イスラム帝国のような広大な領土をもった国でほ東と西ではずいぶんちがっていたようです．
右側はバグダードあたりの東部アラビア数字，左側は西部のスペインのコルドヴァあたりで使われたグバル数字です．インド人は昔，平らな板の上に乾いた塵や砂をまいて，その上に数字を書いて計算をしたので，その数字をグバル（塵）数字といったのです．

さて，こうした書体の一定しないインドの数字が，アラビアの商人をへてヨーロッパへ伝えられたのです．　右の図は，15世紀中頃の写本にみられるアラビア数字ですが，現在の数字と大分ちがっています．
ヨーロッパでインド・アラビア数字による筆算を最初に紹介した本を書いたのはピサの税関の子ども，レオナルド・フィポナッチでした．現在はおちぶれて見る影もない町ですが，当時のピサは十字軍の寄港地として繁栄した町でした．
レオナルド・フィポナッチが書いた『算盤の書Liber Abaci』（1202年出版）の第1ページに「インドの九つの数字ほ9，8，7、6，5，4，3，2，1である．この九つの数字とアラビアでsifrと呼ばれている記号「０」とをもってすれば，いかなる数でも自由に表わしうる」とインド数字が説明されています．
「ゼロzero」の語源
ゼロの語源は、ヒンズー語で「からっぽ」を意味する「スーニャsunya」である。アラビア語の「sifr」　は「カラ」という意味ですがラテン語で「ゼフィラムZephirum」「チィフラtziphra」と訳され，やがて「ズーロzeuero」をへて、「ゼロzero」へと変化した。またさらに英語のcipherとなったのです．cipherというのは暗号という意味をもっています．０の働きがまるで暗号の解読のように思えたのでしょうか．
さて，ヨーロッパヘ伝わったインド・アラビア数字は長い伝統の圧力とたたかわなければなりませんでした．　ヨーロッパ諸国では，計算はアバクスによって行なわれ，その結果がロ－マ数字によって記録されていました．そこでまず，計算盤派（アバキスト）と筆算派（アルゴリスト）の対立が生じたのです．下図その対立を示している。

新しい数字が最初に普及したイタリアでは最も抵抗が激しかった．1299年にはフィレンツェの銀行家たちは，アラビア数字の使用を禁止しているし，有名なパドヴァ大学では校則として，文房具星に本の定価表を「ゼロを使わずに明瞭な文字で」記入させたといわれています．保守的なイギリスでは，16世紀の中頃まで会計簿がロ－マ数字で記帳されていました．　アラビア数字の普及がおくれた理由はいろいろあげられますが，第1に，数字の書体が一定しないために生ずる誤解や詐欺などの不正行為の発生を心配したからでしょう．第2は，製紙工業がヨーロッパでさかんになるのは，14世紀から15世紀にかけてのことであり，従来のパピルスや羊皮紙では高価すぎたのです．鉛筆の近代的なものができたのは16世紀になってからのことで，インクを使う筆算は消したり書いたりすることができないで不便でした．筆算の形式なども現在私たちが行なっているのとは大分ちがった不便なもので，慣れたアバクスの方が間違いなく早く出来たかもしれません．　いずれにしても，アバクスに代って筆算が普及するようになるのは17世紀以降のことです．

『ゼロの記号論』茂木和行
インドのゼロ＝無、からっぽ、空位
マヤのゼロ＝完結、充足
空としてのゼロ＝無限大
カントのゼロ＝プラスマイナスの結合
ヘーゲルのゼロ＝矛盾の統一
クリステバのゼロ＝対立の併存
点としてのゼロ＝部分を持たない存在
現代数学のゼロ＝その前をもたない
ゼロ記号＝有に対立させた無
ソシュールのゼロ＝空の言語空間
「計算する」にまつわる言葉
「計算する」という英語のcalculate　はラテン語の　calculus　から派生したものですが，これは小石を意味する言葉なのです．現在では，Calculus　は微分積分学を意味しますが，古代では庶民の重要な計算用具だったのです．　古い文献によると，板の上に位取りを示す線を引いて，その上に小石を並べて計算したといわれています．　日本のソロバンに当る英語はabacusですが，これはギリシア語の　abax　から派生したもので，本来は平らな板を意味します．計算板はもちろん，食卓，机，ゲームの台，大理石やガラスの装飾用のタイルまで　abax　とよばれていました．　ところで，この　abax　はヘブライ語の　abaq　から派生したもので，これは本来「ちり」を意味する言葉です．　昔は，板の上に乾いた砂をまいて，その上に位取りを示す線を引いて，小石を並べて計算したこともあったようです．3世紀ごろのギリシアの哲学者の書いた本の中に次のような文が見られます．　「ピタゴラス学徒の算板は，板の上に砂や塵をまいたものだ」　「暴君と親しい人は，一人でちょうど計算に用いられる小石のようなも　ので，ある時は多くを表わし，ある時は少しを表わす」　「王様の家来はちょうど計算坂上の殊に等しい，すなわち，それは計算　する人の思召し次第で，ただのカルクス（兵卒）にもなれば，タレント（将軍）にもなる」　さて，板の上に線を引いて，その上に珠を並べて計算したアバタス（線ソロバンとよばれている）で最も古いものはギリシアのサラミス島で発見されたものです．白い大理石製で，長さ1．49m，幅0．75m，厚さ平均0．05mのもので，多分遊戯場の採点板か両替星で使われたものだろうといわれています．　この線ソロバンは17世紀までヨーロッパで一般に計算用として使われました．カウンター（counter）という言葉はその名残りです．インド・アラビア数字が伝えられてからも，かなり長い間，計算はこのアバクスで行われ結果がロ－マ数字で記録されたのです．
日本の数学力の原点　江戸時代の「塵劫記（じんこうき)」

塵劫記いろいろな種類
数字の読み方４桁区切りと３桁区切り
私たちは通常数字を読むとき、１の１万倍を１万、１万の１万倍を億、１億の１万倍を兆と言います。従って１の位から４桁に区切っておけば万、億、兆と単位名がかわるから読みやすい。例えば　　　　325,8156,9845,6902 は325兆8156億9845万6902と容易に読めます。ところが、日本では銀行その他商業上の計算は３桁で区切るため、　　　　325,815,698,456,902 となり、私のような大金に縁のない人間が読もうとすると、「いち、じゅう、ひゃく・・・」と１の位から見ていかないと読めません。非常に不合理だと思いませんか。　これというのも世界の大多数の国が英米式の３桁区切りをしているため、日本も合わせざるを得ないという理由があります。いっそのこと区切りをなくしてしまえば平等なんですが。
英語数詞
１０＝one
１０＝ten
１００＝hundred
１０００＝thousand
１００００＝ten thousand
１００００００＝million
１００００００００＝hundred million
１００００００００００００＝trillion


















ソロバンの歴史
和算の館

割

分

厘

毛

糸

忽

微

繊

沙

塵

埃

渺

漠

模糊

逡巡

須臾

瞬息

弾指

刹那

六徳

虚

空

清

浄

ｍ

　古代中国では、黄帝が数を十等つくったといわれ、億、兆、京、垓、抒、穣、溝、澗、正、載という十の数詞があった。このうち「載」がいちばん大きい古代中国の数の表数で、そこで数は終りであるという意味をこめて、「載」のつぎに「極」という字を加えて数詞にした。「極」とは「極める」とか「果て」のことで、数の終りを意味していたのである。
　その後の中国の数学は、仏教から伝わった数えかたにインドのサンスクリット数詞が加わって豊富になり、明代に広まった『算法統宗』（１５９３年）を手本として、１７世紀に吉田光由によって、『塵劫記』のはじめの章で、大きな数の呼び名（数詞）として書きしるされることになる。
　「十／百／千／万／億／兆／京／垓／抒／穰／溝／澗／正／載／極／恒河沙／阿僧祗／那由他／不可思議／無量大数」がそれである。
　「恒河沙（こうがしゃ）」というのは恒河の沙、つまり「ガンジス河の砂」という意味で、砂は数の多いのたとえとして昔から使われている。アルキメデスが、皇帝から「お前は学者だから、砂の数も数えられるであろう」といわれたという故事もあるくらいである。
　「阿僧祗（あそうぎ）」とは、サンスクリットの数詞「アサンキヤ」を漢語訳したもので、「那由他（なゆた）」も同じ「ナユタ」の漢訳語である。「不可思議（ふかしぎ）」というのもサンスクリット語の「アチンティア」から来たもので、「思い測ることができないほど多い」という意味である。
　「無量（むりょう）」と「大数（たいすう）」は昔は別々の数詞であったが、現在では一つの数詞となっている。
　ところで新佐衛門の米粒の数をこの数詞に従って読めば、
　　２抒４１７８垓５１４３京９２２９兆２５８３億４９４１万２３５１　粒
　ということになる。
　
　「千載一遇（せんさいいちぐう）のチャンスを逃した」などという言葉がよく使われる。日本的な数えかたからすると、「千載」がもっとも大きい数だということで生れた言葉であるが、文字通りに解釈して計算すると、１０の４７乗分の一の確率、つまり１０００兆の１０００兆倍を１０００兆倍してさらに１００倍した回数のうちの一回という確率になる。　仏教説話のなかにも、盲目の亀が百年に一ぺん浮上して、大海に浮ぶ一本の丸太の穴に偶然首を突っこむほどの、滅多にない機会であるとしるされている。　

　『塵劫記（じんこうき）』の「塵」とは、ちりのことで「きわめて小さい」という意味であることはわかりますが、「劫」とはなんでしょうか。
　囲碁に「劫」というルールがある。一目を双方が交互に取り返せる局面のとき、その一目を取れば断然碁勢が有利になる場合でも、相手がその一目をとった直後は取り返すことができず、一ぺん別のところへ石を打ってからでなければ取り返せない。このルールを「劫」という。
　このルールがないと、だいじな局面で将棋の千日手のように戦線が膠着してしまう。つまり無限にゲームが続いて終らなくなるわけであるが、実はこの「劫」とは、サンスクリット語のkalpa音訳した＜劫波カルパ＞から来ていて、「無数に多い」という意味がある。これについてやはり仏典に、つぎのようなたとえがあるのでご紹介しよう。
　古代インドの距離をはかる単位に＜由旬（ゆじゅん）＞というのがある。牛車で一日の行程（約１４．４キロ／７キロという説もある）をいうのだが、一辺の長さが一由旬の立方体をした城砦にけし粒を満たして、百年に一粒ずつ取りだしたところ、全部取りつくしても「劫」が終らなかった、というのである。
　よく疲れ果てたときなど、面倒くさくて気が進まないことを「億劫（おっくう）」だというが、億劫とは、「一億回の劫」のことだから、これは確かに面倒にちがいない。
　劫については、また一辺が一由旬の巨大な石を有年に一度、白髭あるいは天女の衣で払い、石が磨りへってなくなっても劫は終らないともいわれている。古代人が無限を考える場合、自然数的でしかも加法的なのは何とも興味ぶかい。　

落語にも「劫」がでてくる『寿限無』という話がある。
　「寿限無寿限無、五劫のすりきれ、海砂利水魚の水行未、雲行末、風来末、食う寝るところに住むところ、やぶら柑子にぶら柑子、パイポパイポ、パイポのシューリンガン、シューリンガンのグーワンダイ、グーリンダイのボンポコナのボンポコピーの長久命の長助」
　という名前が出てくるといえば思いだされるだろう。これは健やかに育って長命であるようにと、横丁のご隠居につけてもらった名前であるが、このご隠居にはちょっと学があった。「五劫」とは四劫の一つ上で、それがすりきれた後までということである。四劫というのは、仏教で、人類が生れた時代（成劫）、人類が生きる時代（住劫）、世界が破滅する時代（壌劫）、すべてが破滅する空虚の時代（空劫）をさしている。これは世界の盛衰を説いたもので、現代の天文学によると、三〇億年後に太陽は巨星化し、地球はその高熱で燃えつきるだろうという。全宇宙の中のひとつ太陽系がなくなってもすべてが破滅するわけではないから、太陽の寿命が終わる時代は、「壌劫」なのであろうか。
　話はそれるが、海の砂利や魚も多いもののたとえで、海水や風雲も永劫のかなたに流れつづける代表である。一方、薮柑子の実は雪にも負けず青々と育つ。さらに、グーワンダイとシュークンガンというのは、古代インドの北方にあったという仮想国パイポの国王と王妃の名前で、長寿で知られ、しかもその子ボンポコナとボンポコピーも聖人として長命を保ったという。というわけで、『寿限無』という落語は長くつづくもののがさらに連なった名前である。
　仏教では、宇宙を金輪際(こんりんざい）から有頂天までと説いている。金輪際とはどういう意味なのか。今日、私たちは「金輪際いいません」あるいは「金輪際いたしません」などと、否定を強調する「絶対に」「決して」などの意味に使っている。
　ところが、仏教でいう「金輪際」とは、金輪と水輪の境目のことである。いわば人間は金輪の上に住んでいるとされ、その金輪の際（はて）が地下の際（はて）であるというところから、「極限」という意味をもつようになっているのである。

　　この仏教の宇宙観を、もう少し詳しく説明してみよう。
　その宇宙には、虚空のなかに風輪という円筒形のものが浮んでいると考えられている。風輪の大きさは高さが１６０万由旬（前にも説明したように一由旬は約１４．４キロ）　で、周囲は＜阿僧祓＞つまり無限であるという。
　この風輪の上に直径１２０万３４５０由旬、高さ３２万由旬の円筒形の層があり、これが〃金輪〃である。すなわち直径約１７００万キロである。
　さて、私たち人類はそれのどのあたりにいるのかというと、金輪のまんなかに須弥山しゆみせんという山があり、それをとりまいて七つの海と八つの山、さらにその外側に幅が３２万２０００由旬、深さが４万由旬の大海があって、その中央に＜センブ州＞という大陸がある。この大陸が私たちのいる世界だというのである。
　すなわち、人間は金輪の上に住んでいるということになり、そのいちばん下が金輪際（こんりんざい）なのである。
　それでは有頂天（うちょうてん）とは何だろうか。私たちはよく、自分なり誰かなりが物事に熱中して他のことをかえりみず、天にも昇るような気持のときや、得意の絶頂にあるようなときにこの言葉を使うが、仏教では、最高の天を有頂天という。
　天とは神を意味し、また同時に神の住む高いところのことである。この天には、欲界、色界、無色界という三つの世界があって、これを〔三界〕という。
　天の欲界は、六欲天（りくよくてん）といい、
地上四万由旬のところに四天王天、
さらにその４万由旬上に三十三天（刀利天）、
さらに８万由旬上に夜摩天（やまてん）、
その１６万由旬上に兜率天（とそつてん）、
その３２万由旬上に楽変化天、
その６４万由旬上に他化自在天（たけじざいてん）がある。
これら六つの天は生死流転の迷いの世界で、とくに淫欲、食欲をもつものの住むところとされている。
　天の色界は、禅（ディアーナ）をおこない、欲望を超越して形だけが存在して光明を食べるものの住むところで、これが十七天ある。
　梵衆天は、他化自在天から１２８万由旬上に、
梵輔天は、さらにその上方２５６万由旬のところに、
大梵天は５１２万由旬、
少光天は１０２４万由旬、
無量光天は２０４８八万由旬、
極光浄天は４０９６万由旬、
少浄天は８１９２万由旬、
無量浄天は１億６３８４万由旬、
遍浄天は３億２７６８万由旬、
無雲天は６億５５３６万由旬、
福生天は１３億１０７２万由旬、
広果天は２６億２１４４万由旬、
無煩天は５２億４２８８万由旬、
無熱天は１０４億８５７６万由旬、
善現天は２０９億７１５２万由旬、
書見天は４１９億４３０４万由旬、
色究東天は８３８億８６０８万由旬上に、というように重なって存在しているという。天の無色界は定（サマディ）をおこなう形のない精神のみの世界で、そこにはもう空間もなくただ存在する世界といわれるが、この点はどうもはっきりしない。ともあれ、無色界には、四天があるとされている。空無辺処天は、心が空の世界に入るところで、空という私たちの思考の対象があるところだといわれている。
識無辺処天は、心だけが存在する世界で、いっさいの思考の対象がないところである。しかし、「いっさいの思考対象がない」という思考対象がある。
無処有処天むしようしよてんは、「‥‥」という思考さえもたない何にも所有しない世界である。しかし「何にも所有しない」という思考をもっている。
非想非非想天ひそうひひそうてんは、「思わない」そして「思わないということをも思わない」という絶対の瞑想の境地をいう。これが最高の天で、この非想非非想天が″有頂天″なのである。　
　金輪際から有頂天までを現代流にちょっと計算してみよう。
　金輪際から地上まで３２万由旬ある。地上最初の天が四万由旬の四天王天で、色界の最上天まで二十三天が、最初の項が四万由旬、公比が２の等比数列の形で上へ上へと重なっているから、　すなわち地上から色界の色究東天まで１６７７億７２１６万由旬あることになる。
　さらに、有頂天までその割で計算すると、金輪際から有頂天までは、２兆６８４３億５４８８万由旬あることになり、これが仏教による宇宙の大きさであるといえる。
１由旬１４．４キロとして、
１４．４キロ×２兆６８４３億５４８８万由旬
1光年９兆４６００億キロとすると、４．０８光年の大きさとなる。有頂天は地球に最も近い星ケンタウルス座のプロクシマ付近にあたる。

日本の数学の展開

１和算とは　

　日本の数学は奈良時代の少し前から室町時代まではすべて中国から伝わったものです。幕末から明治にかけてはヨーロッパの数学が伝わりました。そこで，ヨーロッパから輸入された数学を『洋算（ようざん）』と呼ぶようになりました。これに対して，江戸時代に関孝和らの努力によりヨーロッパの数学に匹敵するまでに発達した｢日本独自の数学｣を『和算（わざん）』と呼んでいます。

２和算以前

(1) 大和時代

　日本の数学は紀元前200年頃の中国の｢暦算書・天文書｣である『周髀算経』と｢生活に密着した計算技術を集大成｣した『九章算術』(100年頃)やその計算に必要な｢九九｣および｢?(算)｣あるいは｢籌｣と呼ばれる棒などが百済の易暦博士等によって伝えられたと考えられています。
　奈良時代になると大学寮の制度がしかれ，算博士2人・算生30人を置き，次の九つの中国の算経を学ぶことになっていました。周髀算経・孫子算経・五曹算経・九章算術・海島算経・三開重差・九司算経・六章算経・綴術

(2) 平安時代

　平安時代になると実用計算が主となり，高級な数学はすたれてしまいました。そして貴族の間には｢かけ算九九｣を用いた国語表記が用いられました。
　我が国，最古の歌集である｢万葉集｣(759年頃)には｢数字｣や｢九九｣を利用した読み方がいくつかあります。
　例えば，｢二二｣を｢し｣，｢十六｣を｢しし｣，｢八十一｣を｢くく｣，｢二五｣を｢とを｣などとしています。
『万葉集』の｢巻十一｣には
　　　若草乃　新手枕乎　巻始而　夜哉将間　二八十一不在国
　　読み『若草の，新手枕を，巻き初めて，夜をや隔てむ，憎く(にくく)あらなくに』　訳『若草のような妻とはじめて手枕をかわしそめて，何で一夜でも間を置くことができようか。可愛くてしかたがないのに。』とあり，｢八十一｣を｢くく｣と読んでいます。他には『二五』を｢とう｣や，『十六』を｢しし｣と読ませたり，『三五月』を｢望月(十五夜)｣と読ませるような使い方をしているのもあります。
　中国の唐の時代の元和五年(810)の八月十五夜に詩人白居易の読んだ詩に『三五夜新月色』という句があり，殷の時代の甲骨文の詩の中にも『明月三五』と刻まれたものが出土しています。｢三五夜｣は｢十五夜｣のことですから『万葉集』の｢三五月｣という表現の仕方は中国から伝わってきたものと思われます。
　このように｢九九｣は平安貴族のステータスシンボルとして扱われてきました。そこで，無教養な貴族に対しては｢是　二五ヲ知リテ十ヲ知ラザル巳｣という『史記』に記された名句が使われたぐらいです。

(3) 室町時代

　室町時代初期に書かれた『後妙華寺令聞書』の｢職員令｣大学寮の項目に　算博士二人　算ヲク事ヲ教フル者也。算生　三十人算術ヲ算博士ニ習フ者也。算ト云ハ九九ヲヨブ事也。と記載されていることから，当時の貴族は｢六芸(礼・楽・射・御・書・数)の一つである九九と算木を使っての簡単な計算｣程度の教養で充分であったと思われます。
　また，室町時代の作といわれる｢三十二番職人歌合｣(筆者不詳)の六番『算をき』には
　『おくさんのそうしょうしたるはなのとき風をばいれぬ五形なりけり』(置く算の相生したる花の時，風をば入れぬ五形なりけり)
『算道の指南，五形の相尅相生を本躰にて，一切の吉凶を判定する事なれば，花の時の相生に，風をバいれぬ五形と勘あげめる，いと興あり。』とありますから，庶民の間では｢占い用の算木｣を使っての八卦や生まれてくる子供の性別・病人の生死などを占う｢占い｣を職業とする｢占い師｣が盛んに｢算置｣(算所)を設け，生計を立てるような時代であったと思われます。算置の｢算を置く｣とは｢算木を並べる｣という意味です。

(4)安土・桃山時代

　この時代は商工業が盛んになり，実用的な計算が一般民衆に必要となってくると，速く正確に計算ができる計算道具が必要になってきました。このような時代に中国人が商取り引きに使っている｢ソロバン｣を見ていた日本人が，その便利さに驚嘆し，使用法を教わり，日本に持ち込み，そして見よう見真似で試行錯誤しながら作ったものと考えられます。
　｢ソロバン｣は今までの算木による計算よりもずっと簡単で，持ち運びに便利です。また｢ソロバン用割り算九九｣である｢八算｣を｢割り声｣(ソロバンの珠の動きに沿った暗唱用の唱え方で｢二一天作五｣からはじまり｢九進一十｣で終わる八種類の割り算九九)を唱えて使うと機械的に計算ができるため，面倒な割算の商がいくらになるかを考えずにすむことから一般民衆に受け入れられ，急速に全国的に広まりました。当時のソロバンは五珠が二つ，一珠が五つの中国式ソロバンの他に，五珠が一つ，一珠が五つのソロバンも使われていました。日本にソロバンが渡来した時期は明確ではありませんが安土・桃山時代(室町時代末期)の元亀・天正時代(1570～1592)の頃と考えられています。
　ソロバンの語源については諸説，色々ありますが中国語の｢算盤｣の発音＜スワンパン＞から＜ソルバン＞となり｢ソロバン｣と変化したものと考えられています。

３和　算

(1)江戸初期

　ソロバンが一般庶民に普及するとそれに伴う計算方法や練習問題を記した書物が必要になってきます。すると，こうした一般庶民の需要に応えるべくテキストが刊行されるようになってきました。
　現存する日本最古の和算書で1600年頃(江戸初頭)に刊行された著者及び刊年不明の『算用記』(龍谷大学所蔵)が書かれたのもこうした理由からです。ソロバンがかなり一般庶民に普及し，より高度な計算を必要としてきたことの証でしょう。　　　1622年(元和八年)には百川治兵衛の｢諸勘分物｣(巻物)があらわれました。また，毛利勘兵衛重能は同年に『割算書』を出版しました。その結果，優秀な弟子が集るようになりました。
　代表的な弟子は高原吉種と『塵劫記』の著者である吉田光由，『竪亥録』の著者で磐城平藩郡奉行を務めた今村知商です。今村知商は常陸国那賀湊から涸沼川～利根川に至る運送路を調査し，巴川の中流，下吉影村から川口の串挽までの船通路を開鑿しています。　今村知商の弟子平賀保秀は五百石で徳川光國に仕え，水利事業(笠原水道)や暦算の研究に取り組んでいます。また平賀保秀の弟子，村松茂清は赤穂の浅野家に仕えたため，養子の秀直とその子高直は吉良家討入りに参加しました。　高原吉種の弟子，磯村吉徳は丹羽家(二本松)に作事奉行として仕え，安達太郎山より水を引き水道を作ったため二本松の人々は多大な恩恵をうけました。

　　　　　　　　　　　┌─ 内藤治兵衛
　　　　　　　　　　　 ├─ 荒木村英(1640～1718)…後に関孝和の弟子となる
　　　　 ┌─ 高原吉種─┤　　　　　　　　　　　 ┌─村瀬義益
　　　　 │ 　　　　　　├─ 磯村吉徳(?～1710)─┤
　　　　 │　　　　　　 │ 　　　　　　　　└─佐藤五郎兵衞(神原一学覚嘉)
　　　　 │ 　　　　　　└─ 関孝和(1640?～1708)─　建部賢弘─　中根元圭
　　　　 │　　　　　　　　　　　　　　　┌─佐藤正興
毛利重能─┤ 　　　　　　┌─ 隅田江雲─┤ 　
　　　　　│ 　　　　　　 │　　　　　　 └─池田昌意
　　　　　├─ 今村知商 ─┼─ 安藤有益 (1624～1708)
　　　　　│ (1591?～1668)│
　　　　　│ 　　　　　　　└─ 平賀保秀(?～1683)──　村松茂清(?～1695)
　　　　　└─ 吉田光由(1598～1672)─　横川玄悦─　星野実先宣(1628～1699)

(2)江戸時代のベストセラー『塵劫記』

　寛永四年(1627)には毛利重能の弟子吉田光由(1598～1672)が29才の時に『塵劫記』を出版しました。吉田光由は山城国(京都府)嵯峨の吉田宗運の子として生まれ，祖父の従弟が大富豪の角倉了以です。角倉家は大堰川・富士川・高瀬川などの河川土木工事を請け負ったり，中国との貿易で大商人として君臨していました。
　『塵劫記』の内容は，
　　第一巻：そろばんでの基本的な計算に必要な事柄を図入りで詳しく説明している
　　第二巻：金・銀・銭の三貨の換算や貸借の利息計算および米・布・雑貨の売買などの商業計算
　　第三・四巻：土木・建築に関する計算や面積・体積の求め方など役人が必要とする計算です。
　また，算術遊戯｢継子立て｣や日常生活に密着した問題を挿し絵として載せたり，各巻の扉には室町時代の貴族達が娯楽の一つにしていた文字あてゲーム｢目付字｣(三種類)を取り入れるなど親しみやすいように工夫してあります。そのため『塵劫記』は商人や職人から武士まではば広く人気を得ることができました。
　吉田光由は寛永十八年(1641)に『新篇塵劫記』を出版しました。この本には｢遺題｣または｢好み｣ともいわれている｢解答をつけない問題｣を載せ，｢読者にその解答を求める｣という新しい試みがなされました。解答を得た者はこれを書物に著し，また新たな遺題を載せるということを繰り返しおこないました。このようにして，次々に伝えていく遺題は『和算』の進歩に大きな役割を果たしました。
　和算の特徴はこの｢遺題継承｣と次に述べる｢算額｣です。こうした試みも人気を得，『塵劫記』といえば｢そろばんの書｣と言われるぐらいの大ベストセラーになりました。『塵劫記』は何回も版を重ね，明治時代初頭まで出版されています。この間，約二百五十年間に『～塵劫記』とか『塵劫～』といった四百種類もの書物が出版されたことからも『塵劫記』の人気がいかに凄かったかがわかります。

(3)算額奉納の風習

四代将軍徳川家綱の時代(1670年頃)になると，かなり高度な数学の問題を木製の額に書き，これを絵馬にして神社仏閣に奉納する風習がはじまったといわれています。この風習は文化・文政年間(1804～1830)に最も盛んに行われています。
　算額奉納の理由は
　　①難しい問題が解けたことを神仏に感謝する
　　②二自分の研究の成果を誇示する
　　③三　自分達の流派を宣伝する
　　④四何かを記念して奉納する
　　例えば地租改正を記念して測量の額などを奉納したり，師の米寿を記念しての奉納や男子誕生を祝しての奉納などの四種類に分類できます。
　現在，算額は全国におよそ900面ほど現存しています。

(4)関孝和の業績

　関孝和は1640年頃に生まれ1708年10月24日に病死しました。出生地については上州藤岡(群馬県) と江戸小石川という二つの説があります。関孝和はいつ頃，誰に数学を教わったのか，などの伝記はほとんど判りませんが，お墓は父の屋敷に近い牛込弁天町の浄輪寺(東京都新宿区牛込)にあります
　関孝和は中国の算書『算学啓蒙』，『楊輝算法』や和算書『算法闕疑抄』，『算爼』，『古今算法記』など国内外の算書を研究し，『古今算法記』の遺題十五問の解法を載せた『発微算法』を1674 年に出版しました。関孝和自身が出版した書物はこの一冊だけです。関孝和の業績は『発微算法』，『発微算法演段諺解』，『括要算法』などから知ることができます。　関孝和の業績は，それまで中国からの移入数学であった日本の数学を『日本独自の数学』にまで高めたことです。この事実から関孝和以降の数学を『和算』と呼ぶ研究者が多くいます。

４和算から洋算へ

(1)ヨーロッパ文明との接触

　キリスト教の東洋伝道のためにインドからマラッカなどを遍歴していたスペイン生まれのイエズス会士フランシスコ・ザビエル(1506～1552)を鹿児島生まれの弥次郎がマラッカから鹿児島に案内してきたのは天文十八年(1549)のことです。これは鉄砲が鹿児島の種子島に伝来してから6年後のことです。　ヨーロッパから帆船でアフリカを迂回してインド・日本へ航海するには天文学と天体観測のための数学の知識が必要であり，ポルトガル人宣教師達はそれらの知識を身につけていました。そして宣教師は地動説による太陽と地球・日食・惑星などの天文学の知識を日本人に伝えて，日本人の知識欲を満たし，キリスト教の布教に役立てていました。また彼らは日本についてよく学び，慶長十三年(1608)に『日本語大文典』を完成させ，さらに，それを簡潔にまとめた『日本語小文典』を元和六年(1620)にマカオの学院で印刷しました。　中国からは漢訳されたヨーロッパの数学書などが日本に輸入されました。
　　　1607年　幾何原本(ユークリッド原論1～6)
　　　1853年　数学啓蒙(算術書)
　　　1857年　幾何原本(ユークリッド原論7～15)
　　　1859年　代数学(ド・モルガンの初等代数)
　　　同年　代微積拾級(ルーミスの解析幾何・微積分)
　　　1873年　代数術
　　　1874年　微積溯源
　これらの漢訳数学書には加・減・乗・除，等号，根号は洋書の記号をそのまま｢┴，┬，×，÷，＝，√｣が用いられました。数字は一，二，三などの中国数字です。数式は横書きで，文章は縦書きとなっています。そして，｢∫2xdx＝x2 ｣を｢禾二天彳天＝天二｣のように積分記号を｢禾｣，微分記号を｢彳｣，アルファベットのxを漢字｢天｣で表し，代数・幾何・微分・積分・函数(関数)などの数学用語がつくられ，日本に紹介されました。今日用いられている多くの数学用語はこれらの漢訳数学書からのものです。日本は鎖国政策により海外との文化交流は途絶えていましたが1853年(嘉永六年)に米国のペリーが安政五年(1858)に浦賀に来航して，ようやく210年間の眠りから目を醒ましました。

(2)長崎海軍伝習所

　幕府は海軍を創設するためにオランダに協力を要請し，安政二年(1855)12月1日長崎に海軍伝習所を開設しました。内容は航海術・運用術・砲術・天測・測量術・造船学・機関学など海軍士官として必要な技術・知識が教授されました。伝習生には勝麟太郎・塚本明毅・小野友五郎・赤松則良・柳楢悦などがいました。　数学の学習について，オランダ人教官は次のように述べています。　　　算術に通じた学生はやがて代数の加減乗除を学んだ。彼らはすでに対数の理論および実際を学んだ者さえいる。代数を学んだ学生は幾何学をも学び，1856年10月には測量術および三角術の内容にまで進んだ。

(3)幕府派遣オランダ留学生

　1862年，幕府は近代的海軍の創設と欧米の近代国家と同等の国家建設を目的として15名の青年をオランダに留学生として派遣しました。この派遣は造船学・軍事技術をはじめとして経済・法律・医学などのほかに鍛冶・鋳物・機械職人などの職人技術の修得を含めた幅広いヨーロッパ文化の吸収を目的としていました。長崎海軍伝習生の一人赤松則良は，この留学にも選ばれてオランダに派遣され，帰国後の明治元年(1868)に徳川家の沼津兵学校の数学担当の教授となり，数学の教科書を著し，数学教育の分野でも貢献しました。その後，横須賀海軍造船所長となり軍艦を設計しました。陸軍ではフランス軍制を学び，フランスの数学が入ってきました。幕府の開成所でも万延四年(1863) 数学局を設け，神田孝平が洋算を教えました。民間でも近藤真琴が蘭学・洋算・航海術の塾を開きました。日本でも安政四年(1857)柳河春三が『洋算用法』を刊行，同年花井健嘉が｢斜算・籌算｣の書である『西洋速知』を刊行しました。　明治五年(1872)に下等小学校4年・上等小学校4年の計8年の学制がひかれ，教科書として『小学教則』は塚本明毅の『筆算訓蒙』と吉田庸徳の『洋算早学』を示しましたが，翌6年(1873)文部省は『小学算術書』を出版しました。内容はアメリカのコールバン流の書の翻案(従来の作品のすじをいれかえる)で，府県でおのおのが出版し，教科書として採用しました。

(4)沼津兵学校

　徳川家は一藩主として静岡に移り，明治元年10月に静岡学問所を設立し同年12月に沼津兵学校を設立しましたが明治五年(1872)5月に沼津兵学校を閉校しました。陸・海軍の将校を養成する目的で設立された沼津兵学校はイギリス・フランスの外国語，漢文，世界地理，日本史，世界史，経済，図画，物理，天文などの幅広い教養科目を修めました。数学の指導は長崎海軍伝習所の出身者，オランダに留学した人々により行われ，沼津兵学校の生徒は洋算の数学に長じ，巧みなる者として世間に知られました。この沼津兵学校出身者が明治初期の日本の数学教育を支え，翻訳・著作でも活躍しました。

(5)明治初期の数学

　明治維新で中断した技術伝習の学校は明治3年に再開され，新しい技術伝習学校を黌舎と改称しました。そこでの技術教育はフランス本国の理工科大学の教育内容と同じであり，フランスの理工教育を欧米が模範として見習っている優れた教育制度です。これを当時の日本にそのまま持ち込んだものです。そこではフランスの理工技術教育に習って数学の指導が徹底して行われ，初等代数学247頁，高等代数学230頁，方程式論141頁，解析幾何学366頁，解析学481頁，画法幾何学186頁，初等幾何学225頁などのノート類が残されています。これらはフランス人により講義された数学を日本人青年が羽根ペンを用いて達者なフランス語で書き残したものです。　フランス人ウェルニーの指揮で造られた軍艦｢清輝｣(スクリュー推進装置付木造帆船897トン)は明治8年(1875)に竣工し，日本人の設計した軍艦として，明治11年(1878)に英国に向けて出航し，翌12年にロンドンから無事帰着しました。　国家の最高機密であった造船工学をはじめとして科学技術書は西洋数学によって書かれていることから｢洋算｣が主流となり，｢和算｣は明治初期に学校教育からはずされ滅亡の一途をたどりました。